O que os olhos não veem, o raciocínio revela

Por Valdivino Sousa

O que é matemática? Muita gente responde algo na linha “é a ciência dos números”, e então dá uns poucos exemplos tirados da aritmética básica. Nesta reportagem, professores exploram a ideia de que a matemática permite ao homem ver coisas que, sem matemática, permaneceriam encobertas — como quando cientistas brasileiros viram, no corpo humano, objetos matemáticos comuns na transmissão digital de dados.


Bird Toy


{1}/ Passarinhos, eleições, e a catedral de Brasília

“Você já viu um daqueles passarinhos que podemos equilibrar pelo bico?” Quem pergunta é Juliana Costa Camargos, professora de matemática de dois colégios bem conhecidos de Belo Horizonte (MG): Pitágoras e Bernoulli. Ela se refere a um brinquedo, um passarinho de papel ou plástico; basta apoiar o bico do passarinho num dos dedos e todo o resto de seu corpo fica parado no ar, como se estivesse flutuando. “Muita gente, quando vê aquele brinquedo pela primeira vez, exclama: Como isso é possível?!”

Para esboçar uma resposta, o estudante (vamos chamá-lo de tU7) precisa pedir uma ajuda para o resto da humanidade, pois tem de recorrer a informações que os físicos coletaram nos últimos quatro séculos. Segundo o princípio da gravitação universal, todos os corpos com massa se atraem mutuamente. Caso tU7 chame de F a força de atração entre dois corpos de massa m1 e m2, e chame de d a distância entre eles, pode calcular a magnitude da força F com a fórmula a seguir:

Equation-1

Nessa fórmula, G é a constante gravitacional; ela vale 6,672 ∙ 10−11 Nm2/kg (N significa newton, uma medida de força). Mas o que tU7 precisa entender aqui é, simplesmente, que a Terra atrai todos os corpos para si (em razão de sua massa), de modo que, no caso de um objeto específico, a força de atração mútua depende da massa do objeto e da distância entre o centro de gravidade do objeto e do centro de gravidade da Terra. Ora, eis as palavras-chave, que tU7 escreve no caderno dentro de um retângulo vermelho: centro de gravidade.

Todas as forças gravitacionais que atuam sobre um objeto se somam e se cancelam de modo complexo, e no fim das contas é como se uma única força resultante atuasse sobre um único ponto fixo do objeto, cujo nome é centro de gravidade. (Na verdade, é centro de massa, mas os dois com frequência coincidem.) Todo o peso do objeto se manifesta nesse ponto fixo, de modo que, se for possível apoiá-lo nesse ponto, no centro de gravidade, ficará em equilíbrio. À guisa de exemplo, tU7 calcula o centro de gravidade de um triângulo, seguindo as instruções da professora Juliana. Num triângulo feito de material cuja massa se distribui uniformemente, o centro de gravidade coincide com o centroide. “Para achar o centroide”, diz Juliana, “basta traçar as medianas do triângulo. O ponto de equilíbrio estará no encontro das medianas.” (Veja a figura 1.)

Triangle.Centroid.svg

Ninguém vê o centroide de um triângulo, mas, como tU7 conhece a fórmula para achá-lo, pode descobrir onde é, e equilibrar o triângulo inteiro na ponta de uma caneta. Ninguém vê o centro de gravidade do pássaro equilibrista, mas, como tU7 conhece um pouco de cálculo diferencial e integral, pode projetar um pássaro de plástico cujo centro de gravidade fique bem na ponta do bico, e daí poderá equilibrá-lo na ponta do indicador esquerdo. Keith Devlin, um matemático anglo-americano, costuma dizer: “A matemática nos ajuda a converter o invisível em visível.” tU7 não pode ver a gravidade, mas, conhecendo sua fórmula, pode até vencê-la; tudo o que tem a fazer, por exemplo, é construir um foguete cujo sistema de propulsão empurre o foguete para cima com força superior à força para baixo, que é exercida sobre o foguete pelo planeta Terra.

Devlin cunhou a frase “a matemática torna visível o invisível” porque, desde 1997, tem se esforçado para mudar o modo como o público em geral vê os matemáticos e, por tabela, a matemática. Eis uma caricatura comum, segundo Devlin:

O matemático se concentra em matemática porque ela é previsível, porque sempre há uma resposta certa que pode verificar no fim do livro, porque gosta de obedecer a regras bem estritas, porque ela lhe permite escapar da vida cotidiana para se exilar num mundo que não tem nada a ver com o cotidiano, e porque a matemática não requer criatividade, virtude que aliás o matemático não tem.

“Não sou eu quem diz isso”, disse Devlin uma vez, num discurso. “É uma parcela importante da sociedade.” (Veja a íntegra do discurso aqui.) Ele tem uma receita para combater caricaturas como essa: todos aqueles que gostam de matemática precisam se esforçar para espalhar uns poucos slogans melodiosos, fáceis de lembrar, e que revelem o que é e para que serve a matemática. “A matemática torna visível o invisível” é um desses slogans. Quem disser isso, precisa em seguida dar um ou dois exemplos, como o do pássaro equilibrista; Devlin acha que os exemplos precisam ser bem sacados, pois há muito em jogo. “Entendi”, escreve tU7 no caderno. “Posso não saber perfeitamente o que é gravidade, gravitação, força gravitacional, etc. Mas, se consigo expressar essas coisas por meio de fórmulas matemáticas, é como se as visse; e tal visão é tão precisa que, mesmo não sabendo explicar o que elas de fato são, mesmo assim posso usá-las para equilibrar um triângulo sobre a ponta duma caneta, ou para pôr um satélite em órbita da Terra.”

stock-photo-91754719-three-cups-and-a-ballEleições: três bolas coloridas. Francisco de Assis Magalhães Gomes Neto, professor no Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica da Universidade Estadual de Campinas, relembra o exemplo de Eratóstenes de Cirene (275-195 a.C.), que soube estimar o tamanho da Terra. Ele notou que, num dia específico do ano, ao meio-dia, a luz do Sol estava a pino numa cidade, e uma estaca fincada no chão não produzia sombra; notou também que, nesse mesmo dia e horário, numa outra cidade a vários dias de distância (de camelo), o Sol não estava a pino, de modo que a estaca produzia sombra. Eratóstenes mediu o ângulo da sombra em relação à estaca, de 7 graus e 12 minutos, estimou a distância entre as duas cidades (uns 900 quilômetros), presumiu que a Terra era uma esfera e fez as contas. Errou por pouco — segundo alguns historiadores, errou por 16,3% em relação ao tamanho real da Terra. Mas o erro não importa. O caso é que Eratóstenes usou matemática para transformar o que pensava ver (a Terra é plana) no que deveria ver (a Terra se assemelha a uma esfera).

Pesquisas de opinião, como as pesquisas eleitorais, estão entre as coisas que permanecem invisíveis para quem não sabe matemática. “As pessoas custam a acreditar”, diz Francisco, “mas é possível entrevistar 3.000 pessoas no Brasil e acertar, com precisão razoável, os resultados de uma eleição.” Na verdade, Francisco foi cortês: muita gente não acredita nisso de jeito nenhum, por mais que ouça explicações, e tal descrença alimenta mil teorias da conspiração.

Para entender esse ponto, o estudante tU7 cria um breve teste mental. Fecha os olhos e visualiza quatro sacos pretos, opacos, nos quais há três bolas cada um; um deles contém três bolas vermelhas; outro, duas vermelhas e uma branca; outro, uma vermelha e duas brancas; e o último, três bolas brancas. tU7 sorteia um dos sacos ao acaso e, sem olhar, tira uma bola de dentro dele. Tira uma bola vermelha. Só com isso, com apenas uma bola, já pode excluir a probabilidade de que sorteara o saco com três bolas brancas.

Usando o teorema de Bayes como guia (veja o item 4 das observações no fim desta matéria), conclui ainda que a probabilidade de que sorteara o saco com três bolas vermelhas é de 50% (1/2); a probabilidade de que sorteara o saco com duas vermelhas e uma branca é de ≅33% (1/3); e a probabilidade de que sorteara o saco com uma bola vermelha e duas brancas é de 16,7% (1/6). Se isso fosse uma eleição, poderia dizer: a probabilidade de que o candidato VVV ganhe as eleições é de 50%, contra 33% do candidato VVB, 17% do candidato VBB e 0% do candidato BBB. Os partidários do candidato BBB acusariam tU7 de ceder à “pressão das elites”, e diriam: “Como esse pilantra pode vomitar tal vaticínio se entrevistou só uma bola?!” E se o candidato VBB ganhasse as eleições, como aliás é possível, diriam: “Viram? Não dissemos que esse tU7 era um pilantra? Viram como entrevistar só uma bola não basta?”

Juliana Camargos também gosta de dois outros exemplos: o da elipse e o do triângulo. “Na Casa Branca”, diz Juliana, “existe o famoso salão oval, que tem a forma de uma elipse. Em salões assim, se você coloca uma pessoa num dos focos da elipse e outra pessoa no outro foco, as duas se ouvem mesmo que falem em voz mais baixa. Isso se deve a uma propriedade das elipses.” Essa propriedade funciona assim: caso tU7 trace uma linha reta de um dos focos da elipse até um dos pontos na curva da elipse, meça o ângulo entre essa linha e a reta tangente à elipse naquele ponto, e depois “reflita” essa linha com o mesmo ângulo em relação à reta tangente, a linha refletida passará pelo outro foco, como mostra a figura 2. “A catedral metropolitana de Brasília também é assim.” Para quem não sabe matemática, a ampliação da voz talvez pareça sobrenatural. Para quem sabe, o mecanismo se revela visível — as ondas sonoras emitidas num dos focos viajam em todas as direções, mas batem nas paredes e vão parar no outro foco.

Fig_2

Em construções de todo tipo, diz Juliana, o estudante pode ver triângulos. Há triângulos em portões, bicicletas, cavaletes, pontes, automóveis — em Paris, na França, há triângulos na torre Eiffel. Por quê? “O triângulo é a única figura geométrica rígida que não deforma”, diz Juliana. “Se você empurrar o vértice de um triângulo, ou um de seus lados, ele continua a ser o mesmo triângulo. Mas se você empurrar do mesmo jeito um quadrado ou um retângulo, ele pode virar um losango.” (Veja a figura 3.) Por isso, em todo lugar no qual o engenheiro pretende dar à construção maior resistência a deformações, ele inclui um triângulo num cantinho apropriado.

Fig_3

No Curso Anglo Vestibulares, o professor Glenn Albert Jacques Van Amson gosta de mencionar o exemplo dos impostos. “Eu costumo pegar táxi com um motorista que tem uma deficiência física”, diz Glenn. “Por isso, ele compra carros com desconto nos impostos.” Outro dia, o motorista foi buscá-lo com um carro novo, e Glenn perguntou quanto ele havia desembolsado. “Digamos que o preço do carro na loja era de 40.000 reais. Ele disse que pagou a metade, 20.000 reais.” Glenn perguntou então quanto os consumidores pagam de impostos sobre o valor do carro, e o motorista respondeu o que 80% das pessoas respondem: os impostos equivaliam a 50% do valor do carro, pois ele havia pago a metade. É o que o motorista pensa que vê: o carro custa 40.000 reais, ele pagou 20.000 reais — e a palavra “metade” naturalmente lhe vem à mente. “Na verdade”, diz Glenn, “os impostos representam 100% do preço do carro sem impostos.” Essa conta é simples, mas mesmo assim o leitor tU7 resolve colocá-la no papel:

Equation-2

tU7 usou c para denotar o preço do carro antes dos impostos, i para denotar a porcentagem relativa aos impostos, (1 + i) para denotar o aumento porcentual provocado pelos impostos, e p para denotar o preço final ao consumidor. Se ele conhece c e p, como pode calcular i?

Equation-3

Agora, tudo o que tem a fazer é substituir as variáveis pelos valores do problema de Glenn e seu amigo taxista:

Equation-4

tU7 reconhece que, com essa fórmula simples, substituiu o que era aparência pelo que é essência e, de certa forma, tornou o invisível visível. Glenn diz que o cidadão comum não confunde apenas isso. “Em geral, as pessoas comuns também não entendem a ideia de juro composto.”

No interior de São Paulo, a professora Elíris Cristina Rizzioli, da Universidade Estadual Paulista em Rio Claro, prefere um exemplo que interliga o dia a dia de engenheiros de sistemas de comunicação de dados com o dia a dia de biólogos, geneticistas, médicos, e farmacêuticos. Há anos os engenheiros (e os matemáticos) pensam em mecanismos de correção de erros ao transmitir dados. O caso é que eles projetam máquinas para transmitir bits, ou seja, uns e zeros (na forma de energia presente e energia ausente); acontece da máquina se confundir e tomar um 0 por um 1, ou um 1 por um 0. E para isso existem os mecanismos de correção de erros, conhecidos pela sigla em inglês: ECC. Quando transmite uma sequência de bits, a máquina calcula o ECC referente àquela sequência, e o transmite junto. A máquina receptora recebe a sequência de bits, calcula o ECC da sequência que acabou de receber, e o compara com o ECC transmitido pela máquina transmissora. Se estiverem iguais, ótimo. Se estiverem diferentes, houve um erro de transmissão. Às vezes, a máquina receptora usa o ECC da transmissora para identificar e corrigir o erro; mas, se tal não for possível, a receptora pede a retransmissão da sequência de bits.

Ora, dentro dos seres vivos, as células usam o código genético (DNA) para produzir proteínas. Com um pouco de criatividade, tU7 pode encarar isso assim: os pais transmitem seu código genético aos filhos. É como se transmitissem uma sequência de bits. Com o código genético que receberam dos pais, os filhos produzem todas as moléculas de que precisam para viver. Sendo assim, tU7 acha que pode ver uma geração como transmissora, e a geração posterior como receptora. Mas e se, de uma geração para outra, houver um erro de transmissão? Será que existe algo equivalente ao ECC no código genético do homem?

Sim, existe, como descobriu uma equipe de cientistas brasileiros da USP e da Unicamp. Quando as células do nosso corpo usam o DNA para produzir proteínas, usam certos trechos do DNA como ECC, para verificar se as instruções a respeito daquela proteína estão corretas. Foi a primeira vez que cientistas viram, no corpo humano, objetos matemáticos comuns na transmissão digital de dados. “Eles usaram a teoria matemática da informação de forma surpreendente”, diz Elíris. Desse modo, tornaram visível o invisível, e a partir de agora o homem pode ver se consegue mexer no ECC contido no DNA para, por exemplo, compensar as mutações genéticas que provocam o diabetes. “O que parecia fruto do acaso”, diz Elíris, “tem um padrão.”

stock-illustration-43353190-paris-city-hand-drawn-vector-illustrationO que está em jogo. Matemáticos organizam a rotina em torno de converter o invisível em visível. Há muitos exemplos disso na série especial sobre cálculo infinitesimal, que o redator desta Imaginário Puro está publicando desde julho de 2015. Como o leitor viu no artigo mais recente da série, quem poderia dizer que é possível provar, e de um jeito muito satisfatório, que ab · ac = ab+c usando a integral ∫[1, x]dt/t? Algo que estava invisível para os matemáticos do passado se tornou visível para os estudantes atuais de matemática.

Mas poucas vezes o professor pensa na matemática desse jeito: como algo que permite ao homem tornar visível o invisível. “Eu mesmo”, diz Francisco Gomes, da Unicamp, “não tinha parado para pensar nesse assunto em particular.” Sempre que arruma quem lhe ouça, Keith Devlin explica o que está em jogo: se a população não entende bem o que é a matemática, e para que serve, talvez permita que um grupo de políticos reduza os gastos do país com departamentos de matemática em universidades e com o treinamento de professores de matemática. Monteiro Lobato disse uma vez que um país se faz com homens e livros. Mas e se os homens desse país não conseguem ler livros de matemática, e muito menos escrevê-los? Muita gente usa a frase de Lobato para justificar o tempo gasto com a leitura de romances, mas a frase se aplica melhor a livros de física, química, matemática — principalmente matemática. {FIM}


Observações:

1. Publiquei essa matéria pela primeira vez na revista Cálculo: Matemática para Todos, edição 36, pág. 24, janeiro de 2014. A versão que acabou de ler foi revista e atualizada.

2. As entrevistas foram feitas pelo jornalista Dubes Sônego.

3. O crédito da foto do passarinho equilibrista é: APN MJM / Wikipedia.

stock-photo-17705061-maybe-dice4. O teorema de Bayes, em poucos símbolos e palavras: Pr(A | B) = Pr(B | A ) · [Pr(A)/Pr(B)], isto é, a probabilidade de que tenha acontecido A, dado que B aconteceu, é igual à probabilidade de que aconteça B, caso A tenha acontecido antes, vezes a probabilidade de A dividida pela probabilidade de B.

 

Valdivino Sousa é Professor, Matemático, Pedagogo, Psicopedagogo, Contador, Bacharel em Direito e Escritor. Pesquisador sobre Engenharia Didática em Educação Matemática; Modelagem; Construção do Conhecimento em Matemática; Modelos Matemáticos e suas Aplicações na vida real. Criou o método X Y e Z que facilita na aprendizagem de equação e expressão algébrica com objetos ilustrativos. Docente nos cursos de Matemática, Ciências Contábeis, Administração e Engenharia. Autor de mais de 10 (dez) livros e têm vários artigos publicados em revistas e jornais especializados. Semanalmente escreve para o portal D.Dez, Jornal da Cidade e Folha Online. Sobre: Educação Matemática e Desenvolvimento da Aprendizagem. Site: www.valdivinosousa.mat.br

E-mail: valdivinosousa.mat@gmail.com Telefone Celular / Whatsap: 11 – 9.9608-3728

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